Logocordio de Aschero (Luthier: Pérez Esquivel)A través de los peldaños móviles de una escalera y el plano inclinado de un tobogán, podemos situar todos los procesos culturales de la música en cuanto a la organización modal y tonal de sus sonidos, (aquí cabe reseñar la cuota de sacrificio histórico necesario en busca del mejor sistema).
La heptafonía es un ordenamiento escalar selectivo (Bach), y el cromatismo, una cierta aproximación al tobogán totalizador (Wagner).
Entre los cantos de recolección monofónicos de los alacalufes del sur de Chile y los de fecundación tetrafónicos de los bosquimanos; así como entre los cuartetos de Beethoven y los de Bartók, existe algo en común: el respeto a una unidad generadora de lo sonoro, (la matriz universal de toda serie), que permite el desarrollo natural de cualquier modelo de afinación que, aunque en lo musical no está presente, siempre se ha deseado encontrar o justificar en los diversos modelos establecidos: la Edad Media fue la del armónico 3, el Renacimiento llegó hasta el armónico 5, el Barroco y el Clasicismo hasta el 7 y el 9, y el Romanticismo con Wagner a la cabeza hasta el 12. Eso es todo y eso es poco.
Supone una aproximación muy lenta hacia la verdadera naturaleza del sonido, que se frena en gran medida por las propias contradicciones del propio lenguaje musical que posee en sus genes la base de su propia inoperancia.
No se puede actuar con seriedad en una investigación de este tipo teniendo en cuenta los modelos admitidos por una cultura decadente por más bellos que nos parezcan. Nosotros también estamos condicionados por un modelo que nos ha privado de la riqueza de lo verdaderamente armónico.
Nuestros gustos son poco confiables.
Se debe iniciar la aventura partiendo de un profundo conocimiento de la realidad sonora y de sus leyes inmutables, que determinan sin excepciones, las reglas objetivas del lenguaje.
La pérdida de ese supuesto implica la desintegración de los sistemas: la tonalidad surge de un cierto respeto a sus normas, el atonalismo de su ignorancia.
Cada vez que se ha intentado suplantar la tonalidad, la sensibilidad colectiva ha rechazado la opción, (el fracaso del dodecafonismo lo testimonia); pero lo curioso es que Arnold Schönberg intentó crear una falsa naturaleza a través de su concepto serial - y si bien la naturaleza del sonido es serial, no es menos cierto que es también supratonal - (un estado de máxima tonalidad) - y eso Schönberg no lo tuvo en cuenta a la hora de diseñar su propuesta, quedándose sólo en el terreno de lo combinatorio.
Confiesa su incapacidad para hacer de lo natural un lenguaje, (aunque intuye que es el futuro de la música: “Armonía”), pero su discurso sigue siendo un híbrido descentrado entre la tradición y el futuro.
Música y naturaleza no comparten los mismos principios.
Numerofonía y naturaleza, sí.
Tolomeo y Galileo tampoco compartieron el mismo concepto del universo.
Vivimos de aproximaciones tratando de identificarnos con la totalidad.
“Un auténtico sistema debe ante todo, poseer unas bases que abarquen todos los resultados que existen realmente, ni uno mas ni uno menos.
Tales bases son las leyes naturales.
Y sólo esas bases, que no tienen excepciones, podrían tener la exigencia de ser válidas para siempre”.
Arnold Schönberg (Salzburgo, 1.921)
La naturaleza unitaria (y desafinada) de la música, no puede describir la realidad compleja de un sonido armónico por más que se intente representarlo en un espacio equivocado y por medios que no lo definen.
Los músicos leen la portada de los libros, los numerofonistas el libro entero.
El todo es un concepto original que no se resuelve por la suma de alguna de sus partes.
Sergio Aschero (Buenos Aires, 1.990)
La teoría del “temperamento” o “gama” musical consiste en definir la altura exacta que deben tener las notas de la escala. En la música occidental - y de manera crucial para los instrumentos de teclado - esto significa establecer las alturas relativas de los doce semitonos de la octava, o sea dictaminar el criterio que debe seguir el afinador de un instrumento.
Nuestros instrumentos occidentales se hallan hoy en su mayoría afinados según el “temperamento igual” que significa dividir la octava en doce semitonos de igual tamaño.
Esto es muy práctico porque permite tocar con una afinación aceptable en todas las tonalidades, pero tiene una desagradable consecuencia: dentro de la octava, todos los intervalos musicales están desafinados en mayor o menor medida. Las quintas y cuartas son casi perfectas, pero las terceras y sextas son apreciablemente - e inevitablemente - desafinadas.
El público de conciertos de nuestra sociedad occidental está acostumbrado a esta situación y no la percibe, pero todos los músicos de cámara conocen las dificultades que produce nuestro sistema de afinación.
Para comprender la causa de esta situación consideremos unos pocos hechos básicos. Un intervalo es un cociente entre dos frecuencias y suena puro, o sea perfectamente afinado, si dicho cociente es igual al cociente entre números enteros y pequeños. Hay dos maneras de alejarnos de este ideal: utilizar números no pequeños - por ejemplo en intervalos como la séptima - o utilizar un cociente inexacto - por ejemplo en una quinta desafinada -. En cualquiera de los dos casos se producen “batidos”, unas interferencias en el sonido que nos producen una desagradable sensación de desafinación o disonancia.
Los dos números más pequeños que podemos utilizar son 1 y 2, y por ello el intervalo más consonante es el de cociente 2/1, que es igual a 2. Cuando ello ocurre - por ejemplo entre un la de 440 Hz. y otro de 880 Hz. - decimos que oímos una octava.
El cociente del semitono igual es 1,059463, número que multiplicado 12 veces por sí mismo da como resultado 2.
Esto nos da también un primer elemento de juicio: nos dice que un semitono se produce al variar la frecuencia de un sonido en 5,9463%. Para recordarlo lo redondearemos al 6%.
Veamos ahora que pasa con los otros dos intervalos básicos en la práctica musical tonal: la quinta y la tercera mayor.
La quinta es un intervalo con cociente 3/2 - o sea 1,5 -.
En un instrumento afinado según el “temperamento igual” obtenemos una quinta como yuxtaposición de siete semitonos.
Por ende su ratio es 1,059463 (ver arriba), multiplicado por sí mismo 7 veces, lo que da 1,498. La diferencia con el valor puro: 1,5 es de -0,13%.
Las cosas son mucho peores sin embargo con la tercera mayor.
Su cociente puro es 5/4 - o sea 1,25 -; pero en nuestro teclado igualmente temperado se obtiene como yuxtaposición de cuatro semitonos y su ratio es por ende 1,059463 multiplicado por sí mismo 4 veces, lo que da 1,26. Aquí el error es del 0,8%, seis veces mayor que en la quinta. Vimos arriba que el 6% es un semitono, o sea que el 0,8% es casi la séptima parte de un semitono. Es mucho y en la tercera mayor se oye fácilmente.
Estas “groseras e irritantes terceras mayores del temperamento igual” definidas por Jean - Jacques Rousseau
(“Tempérament” Dictionnaire de Musique), hicieron que hasta hace 200 años, el mismo no fuese aceptado.
Desde la Edad Media hasta comienzos del siglo XIX nuestra música occidental - tanto culta como popular -, se desarrolló sobre la base de una gran variedad de “temperamentos desiguales”: la octava se subdividía en doce semitonos, sí, pero espaciados de manera desigual logrando que pequeñas diferencias produjeran una apreciable mejora en las terceras mayores de uso más frecuente.
Para comprender el resto de este texto es importante la “ley de la conservación de la disonancia”: no es posible dentro de los límites impuestos por el lenguaje musical mejorar unas terceras sin empeorar otras.
Nuestro sistema de tonos y semitonos surge en la Edad Media a partir del “círculo de quintas pitagórico”, método de afinación atribuido a Pitágoras (siglo VI antes de Cristo).
Consiste sencillamente a partir de una nota, afinar otra a la quinta justa y proseguir por quintas consecutivas siempre a partir de la última nota afinada.
Si comenzamos por el fa, obtenemos consecutivamente: fa, do, sol, re, la, mi, si; todos afinados por quintas puras. Así surge nuestra escala diatónica de siete notas. A medida que avanza la Edad Media, necesidades melódicas - y a veces también armónicas en la nueva música polifónica - requieren de nuevos sonidos, que se llamarían sostenidos o bemoles.
Si seguimos desde el si, obtenemos: fa#, do#, sol#, re#, la#, mi#, si#. Y en sentido inverso - desde el fa - : sib, mib, lab, reb, sol, dob, fab.
Entre las notas sol# y mib se produce una quinta sumamente desafinada denominada “quinta del lobo” por sus “aullidos”, o sea los batidos producidos por su desafinación.
Este hecho era en esa época una curiosidad académica: con once de las doce quintas perfectamente afinadas, sobraba para las necesidades de la música medieval.
El problema de la afinación pitagórica reside en las terceras. Es que afinando por quintas puras - aunque a los violinistas modernos les cueste comprenderlo - se producen terceras muy desafinadas, peores aún que las del “temperamento igual”.
En la “gama pitagórica” afinamos quintas, no terceras. Para formar la tercera mayor debemos subir cuatro quintas (por ejemplo: do, sol, re, la, mi) y bajar dos octavas. En términos de frecuencias, hay que multiplicar 4 veces por 1,5 y dividir 2 veces por 2. Y resulta que: 1,5 x 1,5 x 1,5 x 1,5 x 1,5 / (2 x 2) = 1,265. Vimos anteriormente que la tercera mayor pura tiene cociente 1,25. Esta diferencia llamada “comma sintónica”, es de aproximadamente la quinta parte de un semitono.
La solución de los músicos medievales fue tratar la tercera mayor como disonancia, que resolvía en una quinta pura (o en su inversión, la cuarta, que también resultaba pura).
Si queremos hoy interpretar la música de la Edad Media, tanto o más importante que utilizar instrumentos de época es afinar de manera que se puedan escuchar las consonancias y disonancias prescritas en la partitura. Se debe utilizar la “gama pitagórica”.
El Renacimiento musical introduce el concepto de terceras mayores como consonancias. La “gama pitagórica” se vuelve por ende inaceptable y muchos teóricos proponen “sacrificar” una de cada cuatro quintas: si la desafinamos lo suficiente - reduciéndola en medida igual a la comma sintónica -, la tercera mayor quedará pura.
Repitiendo este procedimiento a lo largo del círculo de quintas, se logra un máximo de ocho quintas puras y ocho terceras mayores puras.
Por desgracia, quedan cuatro quintas sumamente desafinadas: verdaderos “lobos” inutilizables. Peor aún, se hallan colocadas de manera cíclica: una cada cuatro quintas del círculo, obstaculizando toda modulación.
Los músicos pronto hallarían un método de afinación distinto que resolvería el problema como veremos en el apartado siguiente. Los teóricos en cambio quedaron fascinados porque todos los cocientes de intervalos en la “afinación justa” eran matemáticamente sencillos, aunque estuvieran muy lejos del modelo propuesto por la naturaleza.
Desafinar una de cada cuatro quintas - reduciéndola en una comma sintónica - no es la única forma de obtener terceras mayores puras. Otra manera es reducir todas las quintas en 1/4 de comma sintónica. La desafinación - algo más que el doble que las quintas del “temperamento igual” - se oye pero resulta aceptable, lo que no ocurría con las quintas muy desafinadas de la “afinación justa”.
Para afinar la “entonación media”, lo esencial es lograr que las primeras cuatro quintas estén reducidas en medida similar y formen una tercera pura. Una vez logrado esto, el resto de la afinación se puede realizar por terceras mayores puras. Una interesante consecuencia es que las terceras menores resultan casi puras también.
La “afinación justa” producía dos tamaños distintos de tono: el “tono mayor” formado por dos quintas puras y el “tono menor” formado por una quinta pura y una quinta reducida.
Al utilizarse ahora quintas iguales, todos los tonos tenían un tamaño promedio, de donde surgió el nombre de afinación del “tono medio” o “entonación media”.
El problema de la “entonación media” es que, al igual que las anteriores, el círculo de quintas no cierra. Con el procedimiento arriba descrito logramos once quintas aceptables y ocho terceras mayores puras. La quinta restante y, peor aún, las cuatro terceras mayores restantes, son “lobos” excesivamente grandes.
Estos lobos por suerte aparecían en tonalidades “remotas” con varios sostenidos o bemoles: los músicos del Renacimiento y Barroco Temprano se las arreglaron muy bien simplemente evitando los “lobos”.
En teoría, la enarmonía (por ejemplo sol# afinado como tal pero utilizado como lab) no era posible, pues implicaba gran desafinación, pero en la práctica se la podía utilizar en intervalos disonantes (segundas o séptimas) o también ocultando la desafinación de un “lobo” mediante un trino.
Sus numerosas virtudes - quintas aceptables, terceras y sextas puras, fácil afinación - hicieron que la “entonación media” fuera considerada el método universal de afinación en la música occidental durante los siglos XVI y XVII.
Produciendo una aceptable afinación en escalas y acordes, la “entonación media” fue unos de los pilares del desarrollo de la armonía clásica.
La “gama pitagórica”, el “temperamento igual” y la “entonación media” tienen un aspecto común: son gamas “regulares”, lo que significa que se obtienen afinando quintas de idéntico tamaño.
A partir de esta filosofía, durante los siglos XVI al XVIII se propusieron numerosas variantes, tanto con quintas más grandes como más pequeñas que las de la “entonación media”.
Si reducimos las quintas aún más - como propusieron varios teóricos -, logramos terceras menores y sextas mayores realmente puras, pero las quintas se vuelven inaceptables.
Más razonable es reducirlas menos que la “entonación media”, y propuestas de este tipo abundaron en el Barroco, como medio de atenuar los “lobos”. Lo que los teóricos no vieron fue que al ampliar las quintas, las terceras mayores se desafinaban mucho más de lo que mejoraban los “lobos”.
Peor aún, al carecerse de intervalos puros la afinación se volvía más difícil e imperfecta.
Por todo esto, a pesar de las abundantes propuestas de la época en dicho sentido, la “entonación media” habitual, - reduciendo cada quinta lo necesario para producir terceras mayores puras - fue siempre la que prevaleció en la práctica.
Hacia fines del Renacimiento, las limitaciones de la “entonación media” trajeron un problema.
Era frecuente la transposición para resolver el problema de la ausencia de un diapasón de altura universal, y también para que una voz o instrumento ejecutara una partitura concebida para otro medio. Con la “entonación media”, toda transposición fácilmente lo llevaba a uno a la “guarida de los lobos”.
Había una solución teórica: ignorando los “lobos” y la enarmonía, se podía continuar afinando por terceras puras hacia abajo y hacia arriba para intentar cerrar lo que por naturaleza no cierra, mediante la desafinación de las quintas.
A lo largo del Barroco se publicaron métodos para instrumentos de viento con digitaciones distintas para los sostenidos y bemoles equivalentes. Violinistas y violonchelistas sabían que tenían que subir levemente la afinación para pasar de un sostenido al bemol enarmónico.
En los instrumentos de teclado la solución era cambiar la afinación de sostenidos a bemoles según fuera oportuno: (por ejemplo se tomaba el sol# - afinado como tercera pura por sobre el mi - y se lo reafinaba como lab - tercera pura por debajo del do - y si hacía falta, también se reafinaba el do# - tercera pura por sobre el la - como reb - tercera pura por debajo del fa). No era muy práctico pero se hacía.
Otra solución fueron los teclado no enarmónicos, con algunas teclas divididas, con dos mecanismos independientes, produciendo una el sostenido y otra el bemol.
Aunque ha sobrevivido un puñado de estos instrumentos, su fabricación era costosa y su ejecución difícil, por lo que desaparecieron durante el Barroco.
Para producir una “espiral de quintas” no es indispensable utilizar la “entonación media”: cualquier gama regular sirve, por ejemplo la “pitagórica”.
Resulta instructivo comparar los semitonos producidos por las “espirales” de la “gama pitagórica” y la “entonación media” con los semitonos del “temperamento igual”.
Por otro lado no tiene sentido argumentar acerca de si los sostenidos deben ser más agudos o más graves que los bemoles. Todo depende de la gama que se utilice: en la “pitagórica” son más agudos los sostenidos, en la “entonación media” son más agudos los bemoles y en el “temperamento igual”, coinciden.
Existen subdivisiones múltiples de la octava que determinan gamas de más de doce sonidos. Se dividen en tres familias.
Una de ellas es la citada “espiral de quintas” de la“entonación media”.
La segunda familia es la de las “afinaciones justas múltiples” que intentaban hacer viable la “afinación justa”: si la quinta la - mi es necesariamente reducida, inventemos un la alternativo afinado puro con el mi, etcétera. Esta línea de razonamiento tuvo sus seguidores y a lo largo de los siglos se produjeron ingeniosos teclados y mecanismos.
Por desgracia, aún las cadencias más habituales de la armonía clásica requieren cambiar de una nota a su alternativa: esto es difícil para el ejecutante y molesto para el oyente que percibe un cambio de casi 1/4 de semitono. Se explica así el fracaso de estos intentos.
La tercera familia la constituyen las “divisiones regulares múltiples”: se extiende una “espiral de quintas regulares”- “pitagóricas”, de la “entonación media” u otras - hasta que sus dos “puntas” coincidan con un error inaudible.
El problema es que el error es error, sea inaudible o no.
El que más se aproximó en el intento de crear un modelo de afinación más próximo a la naturaleza del sonido, fue Vicentino (siglo XVI) con su modelo de treinta y una notas por octava y su teclado “clavemusicum omnitonum” de igual número de teclas por octava.
Con esta subdivisión, Vicentino evitaba todos los “lobos” y poseía ilimitada capacidad modulante, aunque no enarmonía.
Su tono estaba subdividido en cinco partes iguales:
do, rebb, do#,reb, dox, re, lo que le permitía interesantes posibilidades que fueron explotadas por el propio Vicentino en sus osadas composiciones, pioneras de la música microtonal.
Son obvias las enormes dificultades de fabricar, afinar y ejecutar instrumentos de esta índole, los que - como era de esperarse - no prosperaron.
Las “divisiones regulares múltiples” fueron eso: múltiples.
Todas estaban destinadas al fracaso porque la música tonal requiere: quintas no peores que las de la “entonación media” y tercera mayores iguales o mejores que las del “temperamento igual”.
Vicentino comete dos errores insalvables: el primero al establecer 31 sonidos por “septava”, cuando el número armónico es 32. La “octava” de 31 es 32, sin embargo en la afinación armónica es 33 (32 + 1).
Las serie naturales tienen por índice acústico: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... sonidos, ni uno más ni uno menos.
Y el segundo error lo comete al considerar que el tono se puede dividir en cinco partes iguales, cuando la única división no discrepante de la “octava” se corresponde igualmente con los números: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...
El centro de la “octava” no esta en el fa# (base 12) ni en el solb (base 31).
La serie armónica establece sin dudas un centro físicamente exacto: 2, 3, 4 (el centro es 3); 4, 5, 6, 7, 8 (el centro es 6); 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 (el centro es 12); 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 (el centro es 24)...
Sin embargo, como los teóricos no tuvieron el valor de seguir el camino abierto por Vicentino, se siguió utilizando la base 12 del “temperamento igual”, luego de desaparecida la gama pitagórica que la había originado.
Durante el Barroco los músicos franceses se fueron alejando de la regularidad de la “entonación media” para lograr mayor libertad de modulación, aunque conservando en lo posible la pureza de las terceras. En las últimas décadas del siglo XVII los franceses ya utilizaban una “entonación media” modificada que se llamó “trisección del lobo”: en lugar de reducir once quintas, reducían solamente nueve y las tres restantes quedaban ligeramente grandes. Desaparecía así la “quinta del lobo”.
Más interesante es lo que ocurría con las terceras mayores.
Con la “entonación media” teníamos ocho puras y cuatro “lobos”; la “trisección del lobo” proporcionaba en cambio seis puras, cuatro aceptables y solamente dos “lobos”.
Se podía utilizar enarmónicamente el mib como re# y el sol# como lab. Afinaciones de este tipo seguían utilizándose en Inglaterra hasta mediados del siglo pasado.
Pero en Francia la evolución fue más allá y habiéndose logrado con la “trisección del lobo” la enarmonía para dos notas, no se tardó en llegar a un sistema en el que solamente las seis quintas “diatónicas” seguían la “entonación media” (produciendo solamente dos terceras mayores puras:
do - mi y sol - si); las demás quintas se iban ensanchando gradualmente en dirección al antiguo “lobo”, más rápidamente cuando lo hacían “hacia los bemoles”. Con esta asimetría - audible aunque no demasiado pronunciada -, las tonalidades con sostenidos eran algo más consonantes que las tonalidades con bemoles.
Este es el “temperáment ordinaire” o “temperáment établi” de la Francia del siglo XVIII y sus célebres enciclopedistas. Todas las descripciones de la época son empíricas: el sistema era demasiado complejo para las matemáticas de entonces. Sin embargo en la práctica era muy efectivo: todas las quintas eran buenas y todas las terceras eran ejecutables, aunque iban cambiando desde las puras hasta las peores, apenas tolerables.
Fuera de Francia e Inglaterra el panorama fue muy diferente.
Durante la segunda mitad del siglo XVII, músicos alemanes e italianos fueron abandonando la “entonación media” a favor de métodos surgidos de experimentar con quintas puras, es decir “pitagóricas”. A estos músicos les interesaba la practicidad de una afinación aceptable para el diatonismo, sacrificando un cromatismo de mayor impureza.
La solución, que en pocas décadas se difundió por casi toda Europa y por las colonias europeas en Latinoamérica, fue afinar puras las seis quintas cromáticas y reducir de manera pareja las quintas diatónicas hasta cerrar el círculo.
Con esto, las mejores terceras mayores eran excelentes - mucho mejores que las del “temperamento igual” - aunque sin llegar a ser puras como en la “entonación media”. Al modular a tonalidades con alteraciones, las terceras se volvían más disonantes hasta que las peores eran “pitagóricas” pero no “lobos”.
Además de ser enarmónico, el nuevo “buen temperamento” tenía tonalidades buenas, medianas y malas al igual que el “temperamento francés” pero de manera menos extrema que este último. Además el círculo de quintas era simétrico: la disonancia aumentaba por igual al modular hacia los sostenidos que al hacerlo hacia los bemoles.
Los teóricos de la época, sobre todo los alemanes, propusieron innumerables variantes: girar el círculo una quinta hacia la derecha, incluir una quinta pura entre las reducidas, afinar cinco puras y siete reducidas,
etcétera. En cuanto al resultado audible en la práctica musical, las diferencias entre estas variantes son poco significativas.
Recientes investigaciones han confirmado sobre base acústica lo que ya hace tiempo se sabía sobre base histórica: el “buen temperamento” es la gama ideal para la música de Juan Sebastián Bach. Su “Clave bien temperado” más que pionera, fue una obra didáctica, dirigida a divulgar entre los aficionados, una práctica que ya era común entre los profesionales.
El “temperamento igual” - antiquísimo como teoría - se inicia como práctica en el Renacimiento, desde la metodología para colocar los trastes de tripa móviles en instrumentos de cuerda punteada y de arco.
Fue muy popular la “regla del 18”: para colocar un traste un semitono más agudo, había que acortar la longitud de la cuerda vibrante en 1/18. Esto no es exacto acústicamente, pero compensa la distorsión producida por la presión del dedo contra el traste, consiguiendo a menudo un resultado muy preciso. No había calculadoras para dividir por dieciocho, pero era fácil hacerlo geométricamente dividiendo la longitud primero por dos y luego por tres, dos veces consecutivas.
Esta práctica temprana del “temperamento igual” desaparece en el siglo XVII cuando, al afianzarse el concepto del bajo continuo, los músicos pasan a afinar utilizando como referencia el teclado - afinado en la “entonación media” y sus sucesores.
La práctica moderna del “temperamento igual” se inicia a mediados del siglo XVIII como gradual evolución del “buen temperamento” (variantes que iban reduciendo el número de quintas puras del mismo). Esta evolución es consecuencia del nuevo estilo que hoy llamamos Clasicismo.
Fue este concepto de “afinación pareja” - o más exactamente “desafinación pareja” - el que acabó por imponer el “temperamento igual” en la práctica musical occidental.
En Francia e Inglaterra, la “entonación media” y sus derivados siguieron utilizándose hasta finales del siglo XVIII.
Con el Romanticismo, franceses primero e ingleses después acabaron adhiriendo al “temperamento igual” que ya dominaba en el resto de Europa.
Es interesante comparar las principales gamas en uso desde el
Renacimiento hasta nuestros días por la música.
Las octavas son siempre puras y las quintas más o menos aceptables (excepto uno que otro “lobo” que no se utilizaba en la práctica). Entre las impresionantes controversias sobre el temperamento que abundaron desde la Edad Media hasta el Romanticismo, hay un punto de coincidencia general: la afinación sólo se prueba por las terceras mayores, y cuando ellas son buenas, la afinación es buena.
Para la numerofonía armónica todos los intervalos son buenos, sin excepciones, ya que su principio es el único sustentado por las leyes naturales de la afinación y no por la herencia de modelos culturales de poca entidad científica. De cualquier manera y a modo de evaluación - desde el ámbito musical - la siguiente tabla muestra los desvíos en cents, o sea centésimos del semitono del “temperamento igual”.
Gama Desvíos en cents de las terceras mayores “mejores” y “peores”:
Entonación Media 0/41
Temperamento Francés 0/30
Buen Temperamento 6/22
Temperamento Igual 14/14
A diferencia de otras gamas, la práctica del “temperamento igual” no requiere conocimiento de ninguno de los conceptos que hemos desarrollado. En consecuencia, en los últimos 200 años se ha difundido entre músicos y afinadores una pasmosa ignorancia al respecto. La mayoría de ellos se limitan a saber que una quinta igualmente temperada se obtiene reduciendo imperceptiblemente una quinta pura.
En cuanto a las terceras, todos nos hemos acostumbrado a su uniforme desafinación.
Estos dos hechos - ignorancia y tolerancia hacia terceras desafinadas - llevaron en el siglo pasado al mito de que la afinación “teóricamente perfecta” era por quintas puras.
Siguiendo este ideal pitagórico, vemos aún hoy a casi todos los violinistas, violistas y violonchelistas tomar solamente una nota del instrumento de referencia - el la - y afinar las restantes cuerdas por quintas puras. Luego se lamentan de que la cuerda más grave del instrumento queda demasiada baja respecto del teclado, y despectivamente le atribuyen el problema al “deficiente temperamento” de este último.
También afirman que el tono está dividido en “nueve commas” y que un sostenido es un comma más agudo que su bemol enarmónico, hecho que solamente es válido para la “gama pitagórica” y no - ni siquiera aproximadamente - para ninguna otra; y como consecuencia, elevan sus sensibles, cuando lo que suena mejor es bajarlas para medir las terceras mayores, como se hacía durante el Barroco.
Cuando el “temperamento igual” se difundió por Europa, diversos musicólogos elevaron sus voces críticas porque los músicos se veían privados de la enérgica variedad de los temperamentos desiguales.
Advirtieron claramente que el “temperamento igual” destruye la diferencia de carácter que debería existir, en un instrumento bien afinado, entre las distintas tonalidades mayores. Predicaron en el desierto, porque el lenguaje musical del Romanticismo no precisaba de dicha diferencia.
En cuanto a la música antigua, no había el más mínimo interés en una interpretación fiel de la misma. Para mediados del siglo pasado, casi todo el conocimiento de la humanidad sobre temperamentos yacía enterrado en antiguos documentos que carecían de interés para la cultura musical de la época.
Recién en el presente siglo se iniciaron investigaciones sistemáticas sobre el temperamento. Barbour publicó en 1.951 su tratado “Tuning and Temperament: a historical survey” - citado por doquier - en el que describe más de cien temperamentos históricos, aunque con serios errores y omisiones. Barbour no atina a identificar el “temperamento francés” como un sistema aparte, e inclusive ignora el importante y difundido aporte de Rousseau (“Tempérament”, en Dictionnaire de Musique) al respecto.
Peor aún, sus prejuicios lo llevaron a narrar toda la historia del temperamento como una inexorable evolución hacia el “temperamento igual”; llegando al extremo de evaluar la bondad de cada gama según cuánto se acerca al “temperamento igual”. Gracias a Barbour, el asunto quedó olvidado por un par de décadas más.
El resurgimiento actual, desde el punto de vista musical, se inicia a fines de la década del sesenta como consecuencia de la tendencia hacia una interpretación más rigurosa con respecto a los modelos de afinación históricos.
Para finalizar este apartado veamos un resumen de varios criterios utilizados para la afinación de las escalas por parte de los teóricos musicales, en comparación con el sustentado por la numerofonía armónica.
Pitágoras (582 a.C.)
1) toma como base la 5ta natural, representada por la fracción 3/2 (sonidos 3 y 2 de la serie armónica), y su inversión 2/3 (ampliada a 4/3 = 4ta justa).
2) encadena 5tas y obtiene todos los sonidos:
do - sol = (do x 3/2).
do - sol - re (do x 3/2 x 3/2) = do x 9/4 (9na mayor).
se reduce a do x 9/8 (2da mayor).
3) do - re = 9/8 (9/4) (dos 5tas).
do - mi = 81/64 (81/16) (cuatro 5tas).
do - fa = resultado de invertir la 5ta (fa - do) =
(3/2 invertido = 2/3 llevado a la 8va = 4/3).
do - sol = 3/2 (la 5ta tomada como base).
do - la = 27/16 (tres 5tas).
do - si = 243/128 (cinco 5tas).
do - do1 = 2/1 (sonidos 1 y 2 de la serie armónica).
análisis:
1) la 5ta natural no basta para explicar el desarrollo de los sonidos de la escala.
2) do - fa, es falso (no es un intervalo natural) - Zarlino -.
3) do sostenido no es igual a re bemol, pues el semitono diatónico: (4/3 : 81/64 = 256/243) no es igual que el
do/fa - do/mi = mi/fa
cromático: (9/8 : 256/243 = 2187/2048), por lo que se
do/re - do sost./re = do/do sost.
genera una discrepancia en la afinación o comma pitagórica:
(2187/2048 : 256/243 = 531441/524288 (comma).
conclusión:
el criterio de afinación de Pitágoras es erróneo.
Zarlino (1.517 - 1.590)
1) toma como base la serie armónica y los intervalos que en ella se forman:
1.- do-3
2.- do-2 = 2/1
3.- sol-2 = 3/2
4.- do-1 = 4/3
5.- mi-1 = 5/4
6.- sol-1 = 6/5
7.- si bemol-1 (nombre aproximado).
8.- do (cero).
9.- re = 9/8 (tono grande) - Pitágoras -.
10.- mi = 10/9 (tono pequeño).
11.- fa sostenido (nombre aproximado).
12.- sol
13.- la bemol (nombre aproximado).
14.- si bemol (nombre aproximado).
15.- si natural.
16.- do1 = 16/15
Entre sol - mi (5/3), se forma un intervalo natural de 6ta mayor que no explica do - la (inexistente).
Entre sol- do (4/3), se forma un intervalo natural de 4ta
justa que no explica do - fa (inexistente).
Entre do cero y si cero existe un intervalo de 15/8.
2) do - re = 9/8 (tono grande).
re - mi = 10/9 (tono pequeño).
mi - fa = 16/15
fa - sol = 9/8
sol - la = 10/9
la - si = 9/8
si - do1 = 16/15
3) Zarlino establece tres tipos de semitonos, citados de menor a mayor:
a) cromático = 25/24 (responde a la diferencia entre la 3ra mayor = 5/4 y la 3ra menor = 6/5). (5/4 : 6/5 = 25/24).
b) diatónico de tono pequeño = 16/15 (responde a la diferencia entre el tono pequeño = 10/9 y el semitono cromático = 25/24). (10/9 : 25/24 = 16/15).
c) diatónico de tono grande = 27/25 (responde a la diferencia entre el tono grande = 9/8 y el semitono cromático = 25/24).
(9/8 : 25/24 = 27/25).
- el semitono cromático es menor que los dos diatónicos al revés que en el sistema pitagórico -.
análisis:
1) la aplicación no rigurosa de la serie armónica hace fracasar el modelo.
2) 4/3 = sol - do (no es igual a) do - fa.
5/3 = sol - mi (no es igual a) do - la.
16/15 = si - do (no es igual a) mi - fa.
3) al no existir fa, la siguiente relación es falsa:
9/8 = fa - sol.
4) al no existir la, son falsas también las siguientes relaciones:
10/9 = sol - la.
9/8 = la - si.
5) al tener tres tipos de semitonos:
25/24, 16/15 y 27/25, la discrepancia es aún mayor que en Pitágoras, generándose tres commas analizadas de menor a mayor:
27/25 : 16/15 = 81/80 (sintónica).
16/15 : 25/24 = 128/125
27/25 : 25/24 = 648/625
conclusión:
el criterio de afinación de Zarlino es erróneo.
Holder (1.614 - 1.697)
1) elección de una comma - intermedia entre la pitagórica y la sintónica -.
pitagórica = 531441/524288 = 5,885 savarts.
(Pitágoras)
sintónica = 81/80 = 5,395 savarts.
(Zarlino)
Holder = 5,680 savarts.
2) división de la octava en 53 partes.
3) como en el modelo pitagórico, son iguales todos los intervalos del mismo calificativo; y es más grande el semitono cromático que el diatónico.
semitono diatónico = 4 commas.
semitono cromático = 5 commas.
tono = 9 commas.
8va justa = 5 tonos y 2 semitonos diatónicos = 53 commas.
análisis:
1) es totalmente artificial ya que no parte de la serie armónica, y en su desarrollo inventa una nueva comma como intervalo divisor de la octava.
2) tiene los mismos inconvenientes que el sistema pitagórico.
conclusión:
el criterio de afinación de Holder es erróneo.
Salinas (1.513 - 1.590) - sistema temperado -
1) se establece como razón de una serie geométrica de 12 elementos
2) se relacionan interválicamente las notas:
do - do sostenido (1)
re (2)
re sostenido (3)
mi (4)
fa (5)
fa sostenido (6)
sol (7)
sol sostenido (8)
la (9)
la sostenido (10)
si (11)
do 1 (12)
3) eliminación de las enarmonías en cuanto a entonación pero no a escritura:
do sostenido = re bemol.
re sostenido = mi bemol.
fa sostenido = sol bemol.
sol sostenido = la bemol.
la sostenido = si bemol.
4) existe un sólo tono y un sólo semitono, desapareciendo la diferencia entre diatónico y cromático:
6 tonos
12 semitonos
5) su base es pitagórica en cuanto al encadenamiento de 5tas, pero parte de una 5ta rebajada para proporcionar mayor exactitud.
análisis:
1) es totalmente artificial ya que no surge de la serie armónica, y en su desarrollo establece una progresión geométrica, que al necesitar decimales escalonadamente discrepantes en sus frecuencias, desafina un tanto la escala.
Todas las notas conseguidas por este procedimiento con excepción de la tónica, son ligeramente falsas.
Sin embargo, es una escala de gran simplicidad y practicidad, no correspondida desde el sistema de notación musical y sí desde el modelo numerofónico, que la utiliza como base 12.
conclusión:
el criterio de afinación de Salinas es erróneo.
Aschero (1.945)
1) se establece como única razón del análisis frecuencial, la totalidad de la serie armónica natural, acotada operativamente en las bases: 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64.
2) los infrasonidos y los ultrasonidos participan en igualdad de condiciones con los sonidos del desarrollo analítico, siendo considerada como serie, el conjunto de todos los grados audibles e inaudibles.
3) la unidad física de medida es el hertzio (Hz.)
análisis:
1) es el único modelo natural de los expuestos hasta aquí, físicamente correcto.
2) no incurre en el error de tratar de explicar lo conocido (escalas heredadas), descartando las inexactitudes conceptuales y metodológicas contenidas en el ámbito musical.
3) el modelo no presenta discrepancias teóricas en sus enunciados.
4) el lenguaje numerofónico se constituye autónomamente con una grafía particular que lo contiene.
conclusión:
el criterio de afinación de Aschero no es erróneo.
